Alexander begann im Alter von neun Jahren mit dem Klarinettenspiel. Während seines Studiums bei Prof. Diethelm Kühn an der Hochschule für Musik „Hanns Eisler“ Berlin nahm er an zahlreichen Kammermusik- und Meisterkursen teil, so unter anderem bei Eduard Brunner, Karl Leister und Karl-Heinz Steffens. Erste Orchestererfahrungen konnte er als Soloklarinettist mehrerer Jugendsinfonieorchester in Berlin und Brandenburg sammeln, des Weiteren 1999 im West-Eastern-Divan-Orchestra unter der Leitung von Daniel Barenboim.
Nach seinem Studium war Alexander Glücksmann Stipendiat der „Herbert-von-Karajan Orchesterakademie“ der Berliner Philharmoniker. 2003 wurde er Solo-Klarinettist der Berliner Symphoniker. Seit dieser Zeit übt Alexander unter anderem als Soloklarinettist eine regelmäßige Aushilfstätigkeit in deutschen Orchestern aus, so unter anderem an der Komischen Oper Berlin, der Staatsoper Unter den Linden, dem Konzerthaus Orchester Berlin, der Semperoper Dresden, bei der Kammerakademie Potsdam, bei den Brandenburger Symphonikern, sowie dem Staatstheater Braunschweig.
Seine große Liebe jedoch ist und bleibt die Kammermusik, der er sich seit seinem Studiums besonders widmet. Seit 2001 ist Alexander Mitglied des Ensemble Quillo, welches sich besonders mit zeitgenössischer Musik auseinandersetzt. Mehrfach spielte er auch mit Mitgliedern der Berliner Philharmoniker beim Kamermusikfestival „Opera Barga“ Italien und folgte Einladungen zur „Kremerata“ Lockenhaus, zum Kammermusikfestival Davos, dem Richard Strauss Festival Garmisch-Partenkirchen, den Kammermusiktagen in Barth, sowie Internationalen Festivals in China, Israel, Spanien, Pakistan, Algerien und Kurdistan. Alexander ist Gründungsmitglied des Ensemble 4.1, das erste »Piano-Windtet« seiner Art, welches sich darauf spezialisiert hat, neben Mozart und Beethoven vor allem unentdeckte Werke aus Klassik, Romantik bis hin zur Gegenwart für Klavier mit vier Bläsern wieder vor einem breiten Publikum zu Gehör zu bringen.