Alexander Melnikov absolvierte sein Studium am Moskauer Konservatorium bei Lev Naumov. Zu seinen musikalisch prägendsten Erlebnissen zählen die Begegnungen mit Svjatoslav Richter, der ihn regelmäßig zu seinen Festivals in Russland und Frankreich einlud. Er ist Preisträger bedeutender Wettbewerbe wie dem Internationalen Robert-Schumann-Wettbewerb (1989) und dem Concours Musical »Reine Elisabeth« in Brüssel (1991).
Seine musikalischen und programmatischen Entscheidungen sind oft ungewöhnlich. Sehr früh begann sich Alexander Melnikov mit der historischen Aufführungspraxis auseinanderzusetzen. Wesentliche Impulse erhielt er von Andreas Staier und von Alexei Lubimov, mit dem er in zahlreichen Projekten zusammengearbeitet hat. Regelmäßig steht er mit namhaften Ensembles für Alte Musik wie dem Freiburger Barockorchester, Concerto Köln, der Akademie für Alte Musik Berlin oder dem Orchestre des Champs-Élysées auf der Bühne.
Unter den Orchestern, bei denen Alexander Melnikov als Solist gastierte, finden sich das Royal Concertgebouw Orchestra, Gewandhausorchester Leipzig, Philadelphia Orchestra, NDR Sinfonieorchester, HR-Sinfonieorchester und Russian National Orchestra sowie die Münchner Philharmoniker, Rotterdam Philharmonic, BBC Philharmonic und NHK Symphony. Er arbeitete mit Dirigenten wie Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi, Philippe Herreweghe, Thomas Dausgaard und Valery Gergiev zusammen.
Mit Andreas Staier erarbeitete Alexander Melnikov ein Programm, das Auszüge aus Bachs Wohltemperiertem Klavier (Andreas Staier – Cembalo) mit den 24 Präludien und Fugen von Schostakowitsch (Alexander Melnikov – Klavier) in einem musikalischen Gespräch korrespondieren lässt. Gemeinsam haben sie auch ein reines Schubert-Programm zu vier Händen aufgenommen und im Konzert gespielt. Eine intensive Kammermusikpflege mit weiteren Partnern wie den Cellisten Alexander Rudin und Jean-Guihen Queyras sowie dem Bariton Georg Nigl gehört für Alexander Melnikov zu den unverzichtbaren Bestandteilen seiner Arbeit.
Überaus wichtig sind ihm auch Kammermusikkonzerte mit seiner langjährigen festen Duopartnerin Isabelle Faust. Ihre gemeinsame Gesamteinspielung sämtlicher Beethoven-Violinsonaten bei harmonia mundi, die u.a. mit dem Gramophone Award und dem ECHO Klassik 2010 ausgezeichnet sowie für den Grammy nominiert worden ist, ist zu einer Referenzaufnahme geworden. Im September 2015 erschien ihre Einspielung der Brahms-Sonaten für Violine und Klavier.
Die von ihm ebenfalls bei harmonia mundi veröffentlichten Präludien und Fugen op. 87 von Schostakowitsch wurden u. a. mit dem BBC Music Magazine Award 2011, dem »Choc de classica« 2010 und dem Jahrespreis der Deutschen Schallplattenkritik ausgezeichnet. 2011 wurde diese CD vom BBC Music Magazine als eine der 50 wichtigsten Aufnahmen aller Zeiten genannt. Des Weiteren spielte er Werke von Brahms, Rachmaninow und Skrjabin ein. Zusammen mit Isabelle Faust, Jean-Guihen Queyras, Pablo Heras-Casado und dem Freiburger Barockorchester nahm Alexander Melnikov eine Schumann-Trilogie – mit den Konzerten und Klaviertrios – auf. Im August 2015 erschien die zweite CD mit dem Klavierkonzert und dem zweiten Klaviertrio. Im November 2016 erscheint sein nächste CD mit Werken von Prokofjew.
Auch in der Saison 2016/17 präsentiert Alexander Melnikov das Projekt »Der Mann mit den vielen Klavieren«. Dieses Programm wird auf drei Instrumenten gespielt, die jeweils den Stil ihrer Zeit wiederspiegeln. Neben Konzerten mit dem Orchestre National de Belgique, dem Orchestra della Svizzera Italiana, der Musica Aeterna und dem Orquestra Sinfonica do Estado de Sao Paulo setzt er seine Zusammenarbeit mit Ensembles wie Camerata Salzburg, Seattle Symphony Orchestra sowie als Künstlerischer Partner mit Tapiola Sinfonietta fort. Zu den weiteren Höhepunkten der Saison zählen u. a. eine Residenz im Palais des Beaux-Arts Brüssel, sowie Rezitale in der Londoner Wigmore Hall, Cité de la Musique Paris, im Muziekgebouw aan ’t IJ Amsterdam, im de Singel Antwerpen und im Palau de la Música Catalana Barcelona.