Nora Hapca wurde 1986 in Rumänien geboren. Zufällig wurden ihre Eltern auf die Musikschule in ihrer Stadt hingewiesen, wo sie schließlich im Alter von sechs Jahren ihren ersten Geigenunterricht erhielt. Mit 14 Jahren ging sie nach Bukarest, wo sie das Abitur am George-Enescu-Musikgymnasium erwarb. Später studierte sie an der dortigen Musikhochschule bei Cornelia Bronzetti. Als Erasmus-Stipendiatin verbrachte Nora Hapca das dritte Jahr ihres Diplomstudiums an der Musikhochschule Köln, wo sie Mihaela Martin kennenlernte, in deren Klasse sie 2011 ihr Masterstudium im Fach Violine Solo absolvierte. Wichtige kammermusikalische Impulse erhielt sie durch den Unterricht und Meisterkurse bei Harald Schoneweg, Anthony Spiri, Jürgen Kussmaul und Arnold Steinhardt.
Sie gewann zahlreiche Wettbewerbe in Rumänien und spielte viele Solo- und Kammermusikkonzerte sowohl in ihrer Heimat als auch im Ausland. Sie nahm an Festivals wie dem Kyoto International Music Students Festival in Japan und dem iPalpiti Artists International in Los Angeles, USA, teil und war regelmäßig in der Kammermusikreihe des International Mahler Orchestra in Berlin zu hören. Während ihres Studienaufenthaltes in Köln wurde sie oft als Aushilfe im WDR Sinfonieorchester engagiert. 2012 wurde Nora Hapca in der Orchesterakademie bei der Staatskapelle Berlin als Stipendiatin aufgenommen. Nach dem zweijährigen Aufbauprogramm spielte sie weiter regelmäßig als Aushilfe in der Gruppe der zweiten Violinen. Seit 2018 ist sie festes Mitglied der 2. Violinen des Orchesters.