Claudius Popp, 1982 in Weimar geboren, begann als Sohn einer Musikerfamilie im Alter von vier Jahren mit dem Cellospiel. Dank seiner außerordentlichen Begabung errang er nach frühen Erfolgen beim Wettbewerb »Jugend musiziert« bereits mit neun Jahren den 1. Preis beim Internationalen Cellowettbewerb Liezen (Österreich).
1992, im Alter von zehn Jahren, wurde Claudius Popp als Jungstudent an der Hochschule für Musik Detmold aufgenommen. Anschließend studierte er am Mozarteum Salzburg, der Musikhochschule Lübeck und der Musikhochschule »Hanns Eisler« in Berlin bei Gotthard Popp, Karine Georgian, Heinrich Schiff und David Geringas, bei welchem er 2003 sein Diplom und 2007 sein Konzertexamen mit Auszeichnung abschloss. Zusätzliche musikalische Impulse erhielt er von u. a. Yo-Yo Ma, Lynn Harrell, Harvey Shapiro und Daniel Barenboim. 
Claudius Popp konzertierte auf internationalen Konzertpodien wie im Konzerthaus Berlin, wo er fünfzehnjährig sein gefeiertes Debüt mit dem Kammerorchester der Berliner Philharmoniker gab, in der Berliner und Kölner Philharmonie, im Rudolfinum Prag, in der Suntory Hall Tokyo, im Großen Saal des Tschaikowski-Konservatoriums in Moskau, im Konzerthaus Dortmund, der Tonhalle Düsseldorf und beim Musikforum Weimar. Auch bei renommierten Festivals, u. a. dem Rheingau Musik Festival, den Musikfestspielen Mecklenburg-Vorpommern, dem Schleswig-Holstein Musik-Festival, dem Heidelberger Frühling und dem Musikfestival Cervo (Italien) ist Claudius Popp seit vielen Jahren regelmäßig zu Gast.
2006 gab er mit dem NDR Sinfonieorchester unter Dirigent Eiji Oue sein Debüt in der Hamburger Laeiszhalle, 2007 und 2014 spielte er unter der Leitung von Daniel Barenboim Strauss’ Don Quixote in Berlin, Granada, Tokio, Madrid, Paris, Wien und Barcelona. Im Herbst 2007 begann die kammermusikalische Zusammenarbeit mit Daniel Barenboim, welche seither zu zahlreichen Recitalen der Beiden führte. 
2003 wurde Claudius Popp 21-jährig Solo-Cellist der Staatsoper Unter den Linden Berlin unter Maestro Barenboim. Der junge Cellist ist Preisträger wichtiger Wettbewerbe, so u. a. beim Internationalen Tschaikowsky-Wettbewerb Moskau (2002), beim Osaka International Music Competition, beim Internationalen ARD-Wettbewerb (2001, Bärenreiter-Sonderpreis) und dem Internationalen Rundfunkwettbewerb »Concertino Praga«. 2003 wurde er mit dem Preis des Deutschen Musikrats ausgezeichnet. Claudius Popp ist Stipendiat der Oscar und Vera Ritter Stiftung, der Studienstiftung des Deutschen Volkes und der Werner Richard – Dr. Carl Dörken Stiftung.
Zusätzlich zu seiner solistischen, kammermusikalischen und orchestralen Arbeit, unterrichtet Claudius Popp seit 2003 im Rahmen der Orchesterakademie bei der Staatskapelle Berlin. Seit dem Wintersemester 2014 nimmt er zudem einen Lehrauftrag an der Hochschule für Musik »Hanns Eisler« Berlin wahr.