Robert Dräger wurde 1971 als Sohn einer Musikerfamilie geboren. Er begann mit acht Jahren in Berlin seine musikalische Ausbildung am Klavier, vier Jahre später kam das Fagott als zweites Instrument dazu. Ab 1983 besuchte er die Spezialschule und die Hochschule für Musik »Hanns Eisler« in Berlin. Im Hauptfach Fagott erhielt er seine gesamte Ausbildung bei Fritz Finsch.
Nach seinem Konzertexamen 1996 bekam Robert Dräger seine erste Anstellung als Solofagottist in der Neubrandenburger Philharmonie; 2002 wurde er Solofagottist der Jenaer Philharmonie. Die sehr erfolgreiche Teilnahme an zahlreichen Wettbewerben sowie Kammer- und Solokonzerte mit verschiedenen Orchestern prägten seine musikalische Arbeit. Zahlreiche Aushilfen in führenden Berliner Orchestern führten ihn immer wieder in seine Heimatstadt zurück.
Hier wurde er dann 2003 Mitglied der Staatskapelle Berlin, zunächst als Fagottist, seit 2007 dann als Solo-Kontrafagottist.