In Oxford geboren erhielt Alexander Soddy seine Ausbildung an der Royal Academy of Music und der Cambridge University. Nach seinem Abschluss 2004 wurde er Repetitor und Kapellmeister am National Opera Studio in London und erhielt zahlreiche Auszeichnungen.
Seit der Spielzeit 2016/17 ist er als Generalmusikdirektor des Nationaltheaters Mannheim und der Musikalischen Akademie des Nationaltheater-Orchesters Mannheim tätig. Er leitete Premieren wie »Aida«, »Fidelio«, »Don Giovanni«, »Die Meistersinger von Nürnberg«, sowie zahlreiche Wiederaufnahmen. Weitere Engagements führten ihn an die Bayerische Staatsoper München, die Royal Swedish Opera, die Metropolitan Opera, die Wiener Staatsoper und die English National Opera in London, sowie zu Konzerten mit der Staatsphilharmonie Nürnberg und dem Niedersächsischen Staatsorchester Hannover.
In der Spielzeit 2008/09 debütierte er an der der Staatsoper Hamburg mit »Die Zauberflöte« und dirigierte im Folgenden u. a. »La Bohème«, »Rigoletto«, »Don Giovanni«, »La traviata«, sowie »Faust« und »Carmen«. Anschließend wurde er dort von 2010 bis 2012 als Kapellmeister engagiert. Von 2013 bis 2016 war er Chefdirigent am Stadttheater Klagenfurt und leitete dort u. a. die Neuproduktionen von »Der Rosenkavalier« und »Macbeth«.
In der Spielzeit 2019/20 widmet er sich den Premieren von »Tristan und Isolde« und »Peter Grimes« in Nürnberg. Im Frühjahr 2020 dirigiert er Schmidts 4. Sinfonie mit dem Orquesta de València.